2010年01月28日

素数位数なら巡回群

 「素数位数の群は巡回群ただ一種類」というのを、見るだけでなんとなくわかった気になる動画があったらいいなあ。と思ったのでちょっとした試みです。
 下は「有限群の広場」さんの「絵で見る有限群」の絵をお借りして位数ごとの絵をアニメGIFにしただけのものです。
(引用に問題がありましたらご指摘ください)
anime1-15


 素数である2、3、5、7、11、13で群は巡回群ただ一種類しかないことがわかりますね。
意味がよく分からなくても「なんか素数の所は回ってる奴だけだな」が見えればいいと思います。
 こんな感じの動画が見たいなあ。というお話でした。

素数位数 <=> 巡回群 <=>
 1のべき乗根というのは複素平面上での回転変換で巡回群

 と話は皆つながっているわけです。

 ーーーー 
 「おいチョット待て!その絵、位数15のところが巡回群1個だ。15は素数じゃないぞ。」 と気づいた人、スルドイ。
 「素数位数なら巡回群ただひとつ」の逆の「ただひとつの巡回群なら素数位数」は、成り立たちません。
 位数nの群が(同型な群を同一視して)いくつ存在するかという問題はnが特別な値をとるとき以外、その一般解を求めることはほとんど不可能である
.…
  n が二つの素数 p,q (p>q) の積であるとき、
  p ≢ 1 (mod q)なら位数 pq の群はただ一つで巡回群。
  p ≡ 1 (mod q)なら巡回群と非可換群の2つ

 岩波数学辞典「有限群」の項目より抜粋
 
 15は素数3と5の積
 5÷3は1で余り2 ここが余り1でないので巡回群ただ一つ。
  ナルホド。
-----
 メモ)そういえば、群論の初歩的な本で正多角形や多面体や結晶の話から群の話に持ってゆくというパターンをよく見ますが、そのあたりに書いていない一言は、「幾何学的な図形の群というのは実は群の世界ではほんの一部」だってことなのですね。
位数が同じでも違う群が一般には存在すると…。

 奥が深い…             

                   つづく
posted by ketaru at 13:49| Comment(0) | TrackBack(0) | 数学
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