2010年02月03日

正規部分群と単位元

「什麼生!」
「説破!」
「如何是正規部分群?」
「単位元」
 ーーーーーーーーーーーーーーー

さて、唐突ですが正規部分群の定義を眺めてみましょう。

Hを群Gの部分群であるとき。
 Gの任意の元gと、Hの任意の元 h に対して
 
  正規部分群定義1

が成り立つとき、Hを正規部分群という。

あるいは

 正規部分群定義2
 

であるとき、Hは正規部分群という。

などと書かれていても同じ。


 さて、この条件をちょっと変形して(両辺の右からgをかけて)

     正規部分群定義3

  としてよ〜く眺めてみるのもオツなものです。
 語彙の豊富な人は左剰余類と右剰余類が等しくなるとは何ぞやと唱えてみましょう。

 さて、「群の定義」は3つあります。
 1 結合法則
 2 単位元の存在
 3 逆元の存在

 単位元に着目します。

 群G の任意の元 g に対して Gの元 e がただひとつ存在して
   単位元定義

 となるe を単位元という。

  これもよ〜く眺めてみます。

 さて、正規部分群の条件と単位元の定義を並べてみましょう。

    正規部分群定義3
    単位元定義
 
 なんか似てるぞー。
 H を e とみなせば、これは単位元の定義です。
 正規部分群の定義ってかみ砕いて言うと「部分群自体を単位元と見なせる条件を表している」などと言い切ってみましょう。※1
 どの群の単位元? それが商群とか剰余群とか呼んでいるものになります。
 こうして群Gは正規部分群Hと剰余群(商群)G/H の二つに「分解」されます。これが「群」の「構造」を与えるカラクリですね※2。

 この「群の世界」での1ステップが「方程式の世界」でべき根を加える1ステップに対応しているのですが(2次方程式はコレが1回で済みます。)そのお話にたどり着くにはまだまだ半分?ですね。

 ではみなさん、体を御大切に。
 
                           つづく

※1 「誰かこの一言を言ってくれていたらいろいろ楽だったのになー」と思うのでした。個人的には群のお話はここがツボです。

※2 「分解」「構造」という言葉のウヤムヤ感、なんとかならんかな。
posted by ketaru at 11:44| Comment(2) | TrackBack(0) | 数学
この記事へのコメント
いつの間にかこんな記事がスタートしていたとは。
こんな基本的なところに「構造」を与えるカラクリがあるなんて、びっくりです。
Posted by rikunora at 2010年02月03日 17:15
 rikunoraさん。
 どうもです。みつかってしまいましたね
 ガロアネタはなかなか書けなかったのですが、ぼちぼちやってます。
 ーーーー
上のお話は
 現在の群論目線なら
「正規部分群は凖同型写像の核(カーネル)」
 の一行に収束するお話。

 ガロア目線なら
「部分群で元の群を表すと2つのやり方があるけどこれが一致するときが固有分解できて2つの群にできるよ」
(「シュヴァリエへの手紙」は避けて通れませんのでいずれ取り上げるハズ)

 記事にするには
 「同じ事を正規部分群と凖同型写像と核という言葉を使わないで小学生にわかるように説明するにはどうすればいいか?」が問題。

 どこまで行けますか。
Posted by KETARU at 2010年02月04日 09:15
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