2007年12月23日

1-2+3-4+...=1/4

b.jpg
 
 前回の不思議な式は、その昔オイラーがあれこれ無限級数をいじくって値を与えては美しがっていたのが始まりらしいです
 では早速探ってみましょう。

「オイラー、出でよ。」

 THE EULER ARCHIVE
 http://math.dartmouth.edu/~euler/

 うう、誰でも直接、原論文に突入できる時代になっていたとは...。
ちょろっと見ると、1768年のE352という番号で扱われている論文がそれっぽいです
(pdfファイル、原文、英訳イロイロあり )
 http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E352.html

(日本は、田沼意次だか、平賀源内の時代...)

 ではちょっとだけ覗いてみましょう。
太陽と月の級数???とか不思議な事が書いてありますが
ヘンな数値を導出するところを。

1.gif

 (1) は 初項1公比 -xの無限等比級数の公式とも、左辺が右辺のマクロリン展開といえる式ですが、これが成立するのはxの絶対値が1より小さい時のはずです...が...
楽しそうにxに1を代入するのは...ご冗談でしょうかオイラーさん。

2.gif

 (2) は (1)の両辺をxで微分して−1をかけてます。
愉快そうにxに1を代入するのは...困りますオイラーさん。
 以下いろいろと操作を繰り返して、数値が求まっていきます。
どうやら左辺が定義域を超えて値が確定しなくても、右辺の値が確定するなら、そちらの値を正解に置き換えましょうというお話しのようです。

 オイラー自身の言葉を見ると、
「パラドキシカルだけど、和の意味の拡張なのです。」なんて書いていますね。

※でもこの論文は直接、-1/12 は直接出てきません。どこか他にあるのかなあ(謎です)

          つづく 
posted by ketaru at 22:40| Comment(2) | TrackBack(0) | 日記
この記事へのコメント
マクローリン展開って、これまた懐かしい(笑)


* どうやら左辺が定義域を超えて値が確定しなくても、右辺の値が確定するなら、そちらの値を正解に置き換えましょうというお話しのようです。*

これは面白いねぇ。


Posted by 関西方面担当 at 2007年12月24日 15:08
 -1/12が見つからない。

コレ、オイラーは書いてないんじゃないかな、ひょっとして? 
 どの論文なのだろう?
どなたか由来をご存知でしたらお知らせくださいませ。
Posted by KETARU at 2008年06月02日 22:33
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